Ajuste de funções psicométricas

Ajuste de funções psicométricas com o EXCEL

6 de agosto de 2026

As funções psicométricas constituem uma importante ferramenta da Psicofísica Clássica (ou Psicofísica Local). Comummente associadas ao Método do Estímulo Constante, ou respectivas variações, estas relacionam a proporção de um dado juízo comparativo (e.g., maior/menor, mais intenso/menos intenso, etc.) face à intensidade de um conjunto de estímulos – Estímulos de Comparação –, relativamente a um estímulo de referência – Estímulo Padrão. Uma vez estimados os seus parâmetros, com base em dados empíricos, as funções psicométricas possibilitam a medição do Ponto de Igualdade Subjectiva e do Limiar Diferencial, quantidades críticas para a caracterização de vários fenómenos perceptivos e teste de hipóteses teóricas.

Para ilustrar desde o início com um exemplo concreto, imagine-se que se pretende medir a magnitude da Ilusão de Müller-Lyer. Na versão mostrada na figura 1, os segmentos de recta A e B possuem, fisicamente, o mesmo comprimento; contudo, o segmento B (do lado direito) aparenta ser maior que o segmento A (do lado esquerdo). Note-se que esta caracterização – "aparenta ser maior" – é apenas qualitativa. Para que o fenómeno possa ser alvo de inquirição científica, é necessário quantificar a diferença perceptiva entre os comprimentos dos segmentos de recta. Isto é, determinar quão maior parece o segmento B face ao A ou, de forma equivalente, quão comprido deveria ser o segmento B para ser perceptivamente igual ao segmento A (isto é, o Ponto de Igualdade Subjectiva). Adicionalmente, pode também ser importante caracterizar o grau de sensibilidade da percepção de comprimentos dos segmentos de recta – isto é, qual a variação necessária no comprimento do segmento B para, a partir do Ponto de Igualdade Subjectiva, deixar de parecer igual ao segmento A (quanto deve ser aumentado ou diminuído para ser apenas perceptivelmente maior ou menor que o segmento A – isto é, o Limiar Diferencial). Ambas essas quantidades são passíveis de serem estimadas com base numa função psicométrica.

Figura 1. Ilusão de Müller-Lyer – a linha B tem o mesmo comprimento que a linha A, apesar de parecer ser maior.

No presente tutorial será explicado como ajustar uma função psicométrica a um conjunto de dados empíricos com recurso ao Microsoft Excel. Ainda que esta não seja a forma mais sofisticada para este fim (cf. Schütt et al, 2016), consegue ser suficientemente precisa para a maioria dos casos, mesmo em contextos de investigação. Acresce que, por usar um software amplamente conhecido e disponível, dispensa a instalação e aprendizagem de um novo ambiente informático. Finalmente, e por requerer a implementação de quase todos os passos para a aplicação do Método dos Quadrados Mínimos – o método de ajuste que será aqui usado –, acarreta um importante valor pedagógico que não seria possível se todo o procedimento ocorresse nos bastidores de um algoritmo executado automaticamente com um ou dois comandos.

Antes de iniciar as instruções detalhadas, importará referir que o presente tutorial assume uma instalação em Português do Microsoft Excel, usando a vírgula (,) como separador decimal. Caso tal não se verifique, deverão ser usadas as funções do Excel equivalentes, numa outra língua, àquelas aqui usadas (este tutorial está, também, disponível em inglês tutorial em inglês).

Passo preliminar – activação do suplemento Solver

Antes de mais, deverá ser activado, caso ainda não o esteja, o suplemento Solver no Excel. Este recurso, consideravelmente útil, não se encontra activado por defeito. Poderá ser activado a partir do menu Ficheiro no botão de opções (canto inferior esquerdo do menu). Na janela de opções, deve-se navegar para o separador Suplementos e seleccionar o botão Ir... no fundo da janela (em linha com a opção Gerir Suplementos do Excel). Na janela de Suplementos, na lista suplementos disponíveis pode-se agora seleccionar o Suplemento Solver e confirmar no botão OK.

Preparação dos dados empíricos

Cada um dos estímulos da Figura 2 foi mostrado 20 vezes, numa ordem aleatória, a um observador instruído para indicar se a linha do lado direito – Estímulo de Comparação – lhe parecia MAIOR ou MENOR que a linha do lado esquerdo – Estímulo Padrão. Esta metodologia constitui a forma mais elementar do chamado Método do Estímulo Constante.

Figura 2. Estímulos de Müller-Lyer utilizados para a recolha de dados com o Método do Estímulo Constante. Os valores (não mostrados ao observador) especificam o comprimento do estímulo padrão (do lado esquerdo) e dos estímulos de comparação (do lado direito).

A tabela que se segue mostra, para cada um dos Estímulos de Comparação, a proporção de respostas MAIOR. Pode-se verificar que, para Estímulos de Comparação claramente menores que o Estímulo Padrão (<6,84 cm) não foi emitida nenhuma resposta MAIOR (todos esses pareceram sistematicamente menores). Por outro lado, estímulos com comprimentos superiores a 10,75 cm pareceram, sistematicamente, maiores que o Estímulo Padrão, com 100% de respostas MAIOR. Entre estes dois extremos, a proporção de respostas MAIOR variou consistentemente entre 0 e 1. Note-se que quando o Estímulo de Comparação tinha exactamente o mesmo comprimento que o Estímulo Padrão (9,77 cm) foi julgado como MAIOR 85% das vezes em que foi apresentado. Este é o padrão de resultados tipicamente encontrado em tarefas desta natureza e o tipo de dados commumente sujeito a um ajuste de uma função psicométrica.

Estímulo Padrão (cm)	Estímulo de Comparação (cm)	Proporção de Respostas Maior
9,77	1,96	0
9,77	2,93	0
9,77	3,91	0
9,77	4,89	0
9,77	5,87	0
9,77	6,84	0,05
9,77	7,82	0,65
9,77	8,80	0,65
9,77	9,77	0,85
9,77	10,75	0,95
9,77	11,73	1
9,77	12,71	1
9,77	13,68	1
9,77	14,66	1
9,77	15,64	1
9,77	16,62	1
9,77	17,59	1

Esta tabela deve ser reproduzida numa folha de cálculo do Excel (será de aqui em diante assumido que o título da primeira coluna – Estímulo Padrão (cm) – se encontra na célula A1).

Especificação da forma da função psicométrica e respectivos parâmetros

De entre as inúmeras alternativas possíveis para modelizar a função psicométrica (ver Schütt et al, 2016), iremos aqui optar por uma forma da função logística:

P_i = \frac{1}{1 + e^{-\left(\dfrac{E_c - E_{0,5}}{b}\right)}}\tag{1}

em que $P_i$ designa a proporção estimada de respostas MAIOR, $E_c$ a intensidade do estímulo de comparação (neste caso, os comprimentos dos segmentos de recta do lado direito nos estímulos da Figura 2), $E_{0,5}$ o ponto central da função psicométrica, correspondente ao Ponto de Igualdade Subjectiva (isto é, o comprimento estimado para o segmento de comparação que não seria percebido nem como maior nem como menor que o estímulo de comparação, associado a uma percentagem de 50% de respostas MAIOR; assume-se que este seria percepcionado como idêntico ao estímulo padrão), e $b$ o declive da mesma (isto é, quão "rapidamente" aumenta a função de 0 para 1). Porque os valores de $E_{0,5}$ e $b$ constituem os parâmetros da função, aqueles que serão estimados de forma a maximizar o ajuste da função aos dados empíricos, devemos previamente especificar um valor inicial – estes podem, por agora, ser mais ou menos arbitrários (no passo seguinte serão devidamente ajustados).

Assim, escreva-se, na célula E20 o valor 9,77 (valor inicial para o parâmetro $E_{0,5}$ ; como primeira aproximação pode-se escolher o comprimento do estímulo padrão) e, na célula E21, o valor 0,97 (valor inicial para o parâmetro $b$ ; como primeira aproximação pode-se escolher a diferença entre cada um dos estímulos de comparação sucessivos). Dê-se à coluna E a designação de Curva Psicométrica, na célula E1 e, na célula imediatamente abaixo – E2 – a fórmula seguinte (equação 1, na sintaxe do Excel):

=1/(1+EXP(-((B2-E$20)/E$21)))

Note-se a referência à célula B2, na mesma linha, e a referência às células E20 e E21 com o número da linha fixo (com o símbolo $). Esta fórmula deve agora ser repetida para as restantes linhas, da 3 à 18, bastando para tal seleccionar a célula E2 e, clicando no quadrado verde no canto inferior direito da célula, arrastar para baixo até à linha 18. O resultado final deverá ser idêntico ao mostrado na Figura 3.

Figura 3. Folha de cálculo com os dados no Excel, após a especificação da função logística como curva psicométrica.

Os valores da coluna E referem-se às proporções de respostas MAIOR estimadas com a função logística da equação 1 com base nos parâmetros $E_{0,5} = 9,77$ e $b = 0,97$ . Note-se que, ainda que aumentem progressivamente de 0 para 1, tal como os dados empíricos, os valores específicos diferenciam-se consideravelmente daqueles. Isto significa apenas que os valores definidos para os parâmetros $E_{0,5}$ e $b$ não estão, ainda, ajustados aos dados empíricos. Neste momento, pode-se, opcionalmente, experimentar outros valores para esses parâmetros (nas células E20 e E21) – alguns valores farão com que as proporções estimadas se aproximem mais das proporções observadas; outros farão com que se afastem mais. O objectivo será encontrar os valores exactos desses parâmetros que minimizem as diferenças entre as proporções estimadas e aquelas observadas. Obviamente, este processo não deverá ser feito "a olho" testando vários valores manualmente. Pelo contrário, recorre-se a um dos possíveis métodos de ajuste que, invariavelmente, se fundam numa quantificação do desvio entre os valores empíricos (coluna C) e aqueles estimados pela função psicométrica (coluna E). No presente tutorial, como dito acima, iremos recorrer ao Método dos Quadrados Mínimos.

Cálculo dos Quadrados Mínimos

Por forma a obter uma medida do desvio entre os dados empíricos e aqueles estimados pela nossa função, iremos calcular, para cada estímulo, a diferença entre esses. Para que essa medida seja dada em valores absolutos (isto é, sem informação acerca da direcção da diferença) e para que erros maiores sejam magnificados, eleva-se ao quadrado cada uma dessas diferenças. Assim, intitule-se a coluna G (célula G1) por Quadrados dos Erros e escreva-se, na célula G2, o seguinte:

=(C2-E2)^2

Uma vez mais, duplique-se esta fórmula para as linhas seguintes arrastando a célula G2 até à célula G18.

Para obter um total destes erros, basta somar todos os valores da coluna G – para tal, escreva-se na célula G20 o seguinte:

=SOMA(G2:G18)

Neste momento, a folha de cálculo do Excel deverá assemelhar-se ao mostrado na Figura 4.

Figura 4. Estrutura dos dados no Excel, após o cálculo dos quadrados dos erros e respectiva soma.

O valor da célula G20 (Soma dos Quadrados dos Erros) traduz a magnitude do desvio global entre a curva psicométrica e os resultados empíricos – quanto menor este valor, melhor o ajuste da curva psicométrica aos dados empíricos. Esse valor mínimo resultará de uma escolha apropriada de valores para os parâmetros $E_{0,5}$ e $b$ . Uma vez mais, e para clarificar a ideia de base, podem-se introduzir livremente diferentes valores nas células E20 e E21, notando que alguns desses resultam numa diminuição da soma dos quadrados dos erros (célula G20), outros levam a um aumento desse mesmo valor.

O nosso objectivo é encontrar a combinação específica de valores que minimizem (isto é, que resultem no menor valor possível) a soma dos quadrados dos erros – o Quadrado Mínimo. Para tal, usaremos aqui o suplemento Solver. Este pode ser encontrado no menu principal do separador Dados, usualmente perto do canto superior direito. Na janela do Solver especifique-se (ver Figura 5), no campo Definir Objectivo, a célula G20 (a soma dos quadrados dos erros), e seleccione-se a opção Mínimo (isto é, o valor da célula G20 deverá ser reduzido ao mínimo possível). No campo Alterando as Células de Variável: indique-se as células E20 e E21 ($E$20:$E$21; isto é, o objectivo deve ser atingido alterando os valores associados aos parâmetros $E_{0,5}$ e $b$ ). Para finalizar, deve-se carregar no botão Resolver.

Figura 5. Janela do Solver no Microsoft Excel.

Uma vez terminada a resolução, deverá abrir-se uma nova janela a fornecer informação acerca da solução encontrada. A soma dos quadrados dos erros (célula G20) deverá agora ser um valor relativamente baixo (perto de 0). De forma similar, as células E20 e E21 possuem agora os valores estimados para os parâmetros $E_{0,5}$ e $b$ que resultam na função psicométrica que melhor se ajusta aos dados empíricos.

Para inspeccionar visualmente o resultado, podem-se dispor os valores empíricos (coluna C), juntamente com os valores estimados (coluna E), num gráfico de dispersão, similar ao da Figura 6.

Figura 6. Proporções observadas e estimadas de respostas MAIOR em função do comprimento do estímulo de comparação.

Ponto de Igualdade Subjectiva e Limiar Diferencial

Uma vez feito o ajuste da função psicométrica, os parâmetros correspondentes fornecem informação perceptiva relevante. O parâmetro $E_{0,5}$ , que neste caso deverá ter resultado num valor estimado de aproximadamente 7,96, especifica o Ponto de Igualdade Subjectiva – isto é, o estímulo de comparação (segmento do lado direito nas figuras 1 e 2) deveria ter um comprimento de 7,96 centímetros para ser percepcionado como igual ao estímulo padrão (segmento do lado esquerdo nas figuras 1 e 2). De forma equivalente, o segmento do lado direito na Figura 1 aparenta, para este observador, ser 1,8 cm maior que o segmento do lado esquerdo (apesar de terem o mesmo comprimento fisicamente).

A determinação do Limiar Diferencial, caso seja necessária, requer alguns cálculos adicionais. Porque se usou uma tarefa 2AFC (2 Alternatives Forced Choice), o valor do Limiar Diferencial requer que se determine o comprimento do estímulo de comparação que resulta numa proporção estimada de respostas MAIOR de 0,75 (para detalhes consultar Gescheider, 1997). Este valor pode ser calculado resolvendo a equação 1 (usada aqui para modelizar a função psicométrica) em ordem a $E_c$ :

E_c = E_{0,5} - b\ln\left(\dfrac{1}{P_i}-1\right)\tag{2}

substituindo $E_{0,5}$ e $b$ pelos valores estimados após o ajuste da função e com $P_i = 0,75$ .

Na folha de Excel que temos vindo a usar, pode-se simplesmente copiar e colar a seguinte fórmula para a célula E23:

=E20-E21*LN((1/0,75)-1)

Obtém-se, neste caso, o valor de $E_c \approx 8,82$ . O Limiar Diferencial é dado pela diferença entre esse valor e o Ponto de Igualdade Subjectiva – isto é, aproximadamente 0,85. Este resultado indica que o comprimento do estímulo de comparação deverá ser aumentado/diminuído em 0,85 cm para ser apenas perceptivelmente maior/menor que o estímulo padrão – em suma, fornece uma medida da sensibilidade psicofísica para juízos de comprimento.

Bibliografia

Gescheider, G. A. (1997). Psychophysics: The Fundamentals (3rd Ed.). Lawrence Erlbaum Associates Publishers.
Schütt, H. H., Harmeling, S., Macke, J. H., & Wichmann, F. A. (2016). Painfree and accurate Bayesian estimation of psychometric functions for (potentially) overdispersed data. Vision Research, 122, 105-123.

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